命题9.12(紧性和有限交的闭集族) 命题9.13(紧空间中的非空递降闭集列之交非空) 例9.14(命题9.13的紧性是本质) 命题9.15(基和子集的紧性) 命题9.16(基和紧性) 定理9.17(有界闭区间是紧的) 定理9.18(两个紧空间的直积是紧的) 系9.19(有限个紧空间的直积是紧的) 定理9.20( 的紧集) 例9.21( 维球面、...
例子:闭区间上的连续函数空间与上界范数构成的赋范空间,有界且等度连续的集合 相对紧。这个看的不太明白,使用了对角序列,一个按函数序列增长,一个按闭区间上有理数序列增长。这种序列构成了函数序列的柯西子序列,由完备性,序列收敛。等度连续是对函数空间连续性的精细描述,毕竟函数空间中的点是函数,所以需要对许许...
拓扑学是研究空间性质和结构的数学分支,在拓扑学中,紧性和紧化是两个至关重要的概念,它们对于理解和处理各种数学问题具有重要意义。紧性描述了一个拓扑空间在局部性质和整体性质之间的关联,而紧化则为我们提供了一种将非紧凑空间扩展为紧凑空间的方法,以便在原空间中利用紧凑空间的性质。几个基本命题 大家都知道...
答案是“yes”,而且事实上只要这个空间中单位球壳是紧的,那么这个空间一定是有限维的。 三、紧性的用处 那么紧性有什么用呢?简单地说,紧性可以让我们“像处理有限维”那样处理一般的无限维问题。比如,我们开头说过,“一般空间上连续泛函不一定能在一个有界闭集上取到最小值”,但是它在一个紧集上可以取到最大...
是列紧的。 紧性:对于集合 ,若 的任意开覆盖可选出有限覆盖,则称 有紧性或称 是紧的。 描述实数完备性的定理: 1.柯西原理(波尔查诺-柯西): 中的柯西序列收敛。 证明:用区间套定理证明。 设 为R中的柯西序列。那么存在正整数 ,使得当 时,
第4节 紧性与拓扑 本文我们在讨论点集拓扑的相关内容前先来介绍相关的两个定义 . 定义4.1:若任一覆盖拓扑空间中的子集的开集族可以选出有限多个集合仍然覆盖, 即, 则称为紧集 . 若本身就是紧集 , 则称为紧空间 . 定义4.2:设为拓扑空间且, 如果令, 则...
序列紧性是拓扑空间中的一种特殊性质,它与连续性、紧致性和完备性等其他类型的紧性有着明显的区别。首先,序列紧性是一种局部性质,而连续性、紧致性和完备性等其他类型的紧性都是全局性质。序列紧性只要求在每个开覆盖的子集中都可以找到有限的子集,使得这些子集的交仍然包含在该开覆盖中。而连续性...
1、1.4 度量空间的列紧性与紧性1.4.1 度量空间的紧性Compactness在微积分中,闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等,这些性质的成立基于一个重要的事实:的紧性,即有界数列必有收敛子列但这一事实在度量空间中却未必成立例1.4.1 设,对于,定义,令,那么是有界的发散点列证明 由于所以为有界点列对于...
在此文中,我们将深入探讨泛函分析中连续与紧性的概念、性质和应用。 一、连续性 连续性是泛函分析中最基本的性质之一。在函数空间中,连续性的定义是基于距离的。假设X是一个函数空间,d是X上的距离函数,若对于任意给定的ε>0,存在δ>0,使得对于所有的x,y∈X,当d(x,y)<δ时,有d(f(x),f(y))<ε,...